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古典測度

測度とは何か

関数$f(x)$に対してその定積分、およびその原始関数という概念が定義され，一定の条件のもとでこの二つが同一の内容を指示していることが示された．これらは関数に固有の問題であった．

近年の高校数学では，$f(x)$が負でない場合，$f(x)$のグラフと$x$軸および二直線$x=a,\ x=t$で囲まれた図形の面積を$S(t)$とおくと，$S'(t)=f(t)$となること，つまり$S(x)$が$f(x)$の原始関数であることが解説される．一方，定積分 $$\int_a^bf(x)\,dx$$を原始関数の差$S(a)-S(b)$として定義する．その結果，定積分は$x$軸とグラフとそして$y$軸に平行な二本の直線で囲まれた領域の面積となる．唯一の数学的な内容は$S'(t)=f(t)$である．図形の面積に依拠して積分が定義されるということになっている．

しかし実は定積分の定義は面積とは独立に，関数に固有のものとしてなされた．リーマン和もその極限も面積とは独立に定義され，計算できるときは計算された．そのため逆に，では定積分がどのような意味で面積なのかということが問題として浮かびあがってくる．この問題を最初に考えたのは，十九世紀末フランスの数学者ジョルダン（Marie Ennemond Camille Jordan、1838〜1922）ではないだろうか．ここではジョルダンによる面積の定義をふりかえり，定積分がこれとどのように結びつくのかを考えたい．

空間の部分集合に数を対応させる規則$m$がある．互いに共通部分をもたない部分集合の列$E_i\ (i\in I)$があり，それぞれ値$m(E_i)$は定まるとき，その和集合にも$m$の値が定まり次の等式が成り立つことを，加法性いう．

$$m\left(\bigc上_i E_i \right)=\sum_i m(E_i)$$

$i$の動く添え字の集合$I$はどのような範囲か．実は，有限集合にかぎる立場と，可算無限を許す立場がある．それがジョルダン測度とルベーグ測度である．共通なことは，距離が導入された空間の部分集合に，負でない実数を対応させる関数$m$で加法性をもつものを測度という．

測度論は，長さ，面積，体積，質量分布，確率分布などをとらえるための数学理論である．この問題を徹底して考えたのがフランスの数学者ルベーグ(Henri Lebesgue，1875〜1941)であった．1902年の論文『積分・長さおよび面積』で「測る」ということをとらえなおした．つまり$m$の構成から問題をとらえなおした．ルベーグ測度論である．そしてそのうえに積分論を再構築した．

ここには，測ることにおいて，有限個の長方形で近似するところから，可算無限個の長方形で近似することへの飛躍があった．上の加法性を表す添え字$I$もまた，有限個から可算無限個に飛躍する．新しい現代解析学の基礎づけである．このような歴史をおさえておきたい．

そのうえでわれわれの『解析基礎』はそれ以前，古典的な測度，ジョルダン測度の段階である．量を測るという観点からいえば，平面上の直線の長さと長方形の面積を与えられたものとして用いて，関数のグラフで囲まれた平面の部分集合の面積を，それに含まれる有限個の長方形の面積の上限と，それを含む有限個の長方形の面積の下限が一致するとき，その部分集合は「測れる」ものとし，その値を面積として定義する．

外部面積と内部面積

$xy$平面$\mathbb{R}^2$におかれた領域$S$の面積を次のように定義しよう． 領域とは平面上の有界な点の集合とする． 平面での有界性は$S$を含む円板が存在することとして定義することもできる．

まず$xy$平面内の半開長方形

$$0\le x <a ,\ 0\le y <b$$

を考えこの面積を$ab$とする． 有限個の長方形が重ならないように並べられた図形を$I$とする． $I$の面積を構成する長方形の面積の和として定め $\left\vert I \right\vert$と書く．

$I$で$S$に含まれるものと， $I$が$S$を含むものを考える．

そこで

$$\begin{eqnarray*} &&\left\vert S \right\vert _*=\s上\left\{\ \vert I\vert\ \Big... ...inf\left\{\ \vert I\vert\ \Bigl\vert\Bigr.\ S\subset I \right\} \end{eqnarray*}$$

とおく． $\left\vert S \right\vert _*$が存在するときこれを$S$の内部面積という． $\left\vert S \right\vert^*$が存在するときこれを$S$の外部面積という．

内部面積とは， 小さい長方形を加えていって 内から$S$を埋めていくときの上限である．

外部面積とは，$S$を含む長方形の集合の長方形をより小さい長方形いくつかで置きかえ ていくときの下限である．

$I$は次のように構成してもよい． $S$は有界なので，まずこれを長方形で覆う． そのうえで二つの辺を$n$分と$m$分する． その分点から辺に平行な線分をひき，それらによって構成される長方形を考える． それぞれの辺の分割を $\Delta_1,\ \Delta_2$とし，この組を$\Delta$とする．

 $S$に含まれる長方形すべての和集合を$i_{\Delta}$， $S$と共有点をもつすべての長方形の和集合を$I_{\Delta}$とする． $\left\vert S \right\vert _*$と $\left\vert S \right\vert^*$が存在するときは

$$\left\vert S \right\vert _*=\s上_{\Delta}\{\ i_{\Delta}\ \}... ... \left\vert S \right\vert^*=\inf_{\Delta}\{\ I_{\Delta}\ \}$$

となる．

これは次のことから従う．

1. 分割を細かくすれば$i_{\Delta}$は増加し$I_{\Delta}$は減少する．
2. 長方形の重なりのない和集合$I$と$S$を含む長方形に対し，その辺を延長することで，
   
   $$\begin{array}{ll} I\subset Sなら&I\subset i_{\Delta}\\ S\subset Iなら&I_{\Delta}\subset I \end{array}$$
   
   となる分割ができる．

例えば，$S\subset I$の場合についてみると次のようになる．

$$\left\vert S \right\vert^*\le \left\vert I_{\Delta}\right\vert\le \left\vert I\right\vert$$

より，外部面積 $\left\vert S \right\vert^*$が存在するとき，

$$\left\vert S \right\vert^*\le \inf_{\Delta}\left\{\left\ver... ...{\left\vert I\right\vert\right\}= \left\vert S \right\vert^*$$

となるからである．

ジョルダン測度

平面の領域に対してその測度を次のように定義する．

定義 28        平面の領域$S$で

$$\left\vert S \right\vert _*=\left\vert S \right\vert^*$$

となるとき，領域$S$はジョルダンの意味で計測可能， 略して可測であるという． この値を$m(S)$と表し$S$の(ジョルダン)測度という．

それはルベーグ測度に対して古典測度ともいうべきものである．

注意 5.8       測度は平面領域だけではなく，距離の定義されたユークリッドで考えることができる概念である． 平面領域の測度を面積という． 三次元領域の測度は体積といわれる． 測度で統一するのなら，外部面積，内部面積も「外測度，内測度」というべきであるが， ここはあえて「外部面積，内部面積」にしておき，それが一致した場合を「測度」で表した．

注意 5.9       平面上の領域 $[1,\ 2]\times[1,\ 3]$から 領域 $[1,\ 2]\times[2,\ 3]$に含まれる有理点,つまり$x$座標も$y$座標も有理数からなる点を除いた点集合を$S$とする．するとこの場合

$$\left\vert S \right\vert _*=1,\ \left\vert S \right\vert^*=2$$

となり，$S$は可測ではない．つまり$S$は面積が定まらない． このように面積というものは，はじめから存在する値ではなく， 定義しなければならない量である．

さてそこで問題はジョルダン測度の加法性である．

定理 64        有界な領域$S$は互いに共通な部分をもたない 有限個の領域 $S_i\ (1\le i \le n)$の和である．つまり

$$S=S_1\c上 S_2\c上 \cdots \c上 S_n\quad,\ \quad Si\cap S_j=\emptyset \ (i \ne j)$$

このとき， 各$S_i$が可測であるなら$S$も可測であり，かつ

$$m(S)= m(S_1)+m(S_2)+\cdots+m(S_n)$$

となる． ■

証明     $S_i\subset I_i$ となる長方形の和集合をとる． $S\subset(I_1\c上 I_2\c上 \cdots \c上 I_n)$である．

    一般に二つの長方形が共通部分をもつとき， この和集合を共通部分のない長方形の和に分けることができる．

     したがって $I_1\c上 I_2\c上 \cdots \c上 I_n$と一致する共通部分のない長方形の和を$I$とすれば$S\subset I$となる．

$$\left\vert I \right\vert =\left\vert I_1\c上 I_2\c上 \cdot... ...left\vert I_2 \right\vert+\cdots+ \left\vert I_n \right\vert$$

$I_1,\ I_2,\ \cdots,\ I_n$を動かした下限をとることにより

$$\left\vert S \right\vert^*\le \inf\left\vert I \right\vert\... ...\vert S_2 \right\vert^*+\cdots+ \left\vert S_n \right\vert^*$$

各$S_i$は可測なので，

$$\left\vert S \right\vert^* \le \left\vert S_1\right\vert _... ...ft\vert S_2\right\vert _*+\cdots+\left\vert S_n\right\vert _*$$

である．一方， $I_i\subset S_i$となる長方形の和$I_i$をとる． $S_i$は互いに共通部分がないので$I_i$も共通部分がない． よって $I=I_1\c上 I_2\c上 \cdots \c上 I_n$が$S$に含まれる一つの長方形の和である．

$$\s上\left(\left\vert I_1 \right\vert+\cdots+\left\vert I_n ... ... =\s上\left\vert I \right\vert\le\left\vert S \right\vert _*$$

これから

$$\left\vert S \right\vert^* \le\left\vert S \right\vert _*$$

となる．逆の不等号は明らかなので

$$\left\vert S \right\vert^* =\left\vert S \right\vert _*$$

つまり$S$は可測である．またこの証明内の不等式はすべて等号となり，

$$m(S)= m(S_1)+m(S_2)+\cdots+m(S_n)$$

が示された． □

このように有界な平面領域の可測性が定義された上は，定積分の可能性との関連が次のように明確になる．

定理 65        区間$I=[a,\ b]$で定義された有界で非負値関数$f(x)$が積分可能であるための必要十分条件は，領域

$$S=\{(x,\ y)\ \vert\ x\in I ,\ 0 \le y \le f(x)\ \}$$

が可測となることである．このとき

$$\int_a^bf(x)\,dx=m(S)$$

が成り立つ． ■

証明     有界関数なので区間$I$において$f(x)\le M$となる$M$が存在する． $x=a,\ x=b$および$y=0,\ y=M$で定まる長方形$I$に$S$は含まれる． この長方形の$x$方向を$n$分した分割$\Delta$をとる． それぞれの小区間における上限と下限を$M_i,\ m_i$とし， $x$軸と平行な直線$y=M_i,\ y=m_i$をとる． $x$軸の分割とあわせた小長方形で$S$に含まれるものの面積の和が$s_{\Delta}$， $S$と共通部分に含まれるものの面積の和が$S_{\Delta}$である． これをもとに積分可能性と可測性の同値性が導かれる． □ 次: 次元の拡大 上: 積分の方法 前: 広義積分