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02名工大

三角形 ABC複素平面上におき， A(z₁)， B(z₂)， C(z₃)とする．

$$\alpha=\cos 60^{\circ} +i \sin 60^{\circ}$$

とし． D(w₁)， E(w₂)とおく． 点 C ，点 D は直線 AB に関して反対側にあり， また，点 B ，点 E は直線 AC に関して反対側にあるので，

$$\begin{array}{l} w_1-z_2=\alpha(z_1-Z_2)\\ w_2-z_1=\alpha(z_3-Z_1) \end{array}$$

である．点 M と N に対応する複素数を $m,\ n$ とすると

$$m=\dfrac{w_1+w_2}{2} =\dfrac{z_1+z_2}{2}+\alpha\dfrac{z_3-z_2}{2}$$

一方， $\mathrm{K} \left(\dfrac{z_1+z_2}{2} \right)$， $\mathrm{L} \left(\dfrac{z_3+z_1}{2} \right)$ なので

$$n=\dfrac{2z_1+z_2+z_3}{4}$$

ここで

$$\begin{eqnarray*}n-m&=&\dfrac{2z_1+z_2+z_3}{4}-\left\{\dfrac{z_1+z_2}{2}+\alpha\... ...rt{3}}{2}i\right)\right\} =(z_2-z_3)\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray*}$$

$\dfrac{n-m}{z_2-z_3}$ が純虚数になったので， 直線 MNと直線 BCが垂直であること が示された．