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02奈良女子大

(1)

$$2^{a-1}\le 2^a-2^b \quad \iff \quad 2^b\le2^a-2^{a-1}=2^{a-1}$$

a と b がともに整数で b<a なので $b\le a-1$ が成り立つ． よって $2^b\le 2^{a-1}$は成り立つ． 2^b>0 より 2^a-2^b<2^aも成立．

(2)

(1)から

$$\begin{array}{l} 2^{k-1}\le 2^k-2^l<2^k\\ 2^{m-1}\le 2^m-2^n<2^m \end{array}$$

2^k-2^l=2^m-2ⁿなので，

$$2^{k-1}<2^m \quad かつ \quad 2^{m-1}<2^k$$

つまり

$$k-1<m \quad かつ \quad m-1<k$$

ゆえに

k-1<m<k+1

$k，\ m$ がともに整数なので k=m である．このとき 2^k-2^l=2^m-2ⁿよりl=nである． 別解 $l\ne n$ とする．l> n とすれば 2^k-2^l=2^m-2ⁿなので，

2^k-n-2^l-n=2^m-n-1

右辺は奇数で左辺は偶数なので矛盾．

$$∴ \quad l=n$$

このとき 2^k-2^l=2^m-2ⁿより k=m . l<n のときも同様である．