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02都立大

(1)

1辺の長さが a の正四面体 ABCD は1辺の長さが $\sqrt{2}a$ の立方体のなかに置くことができる． このとき明らかに辺 AC と辺 BD は垂直である．

(2)

辺 AC の中点 M と 辺 BD の中点 N を結ぶ線分 MN の長さは，立方体の1辺の長さに等しい．ゆえに$\sqrt{2}a$ ．

(3)

明らかに線分 MNは辺 AC と辺 BDに 垂直である．直線 MNを回転軸にして直径 a の円柱を作ると 正四面体の各頂点がちょうど円柱の表面上にある． したがって，a<bなら，直径が b の十分に長い円柱の内部に， 正四面体 ABCD をすっぽり入れることができる．ゆえに a<bは十分条件である． $b\le a$ なら直径が b の十分に長い円柱の内部に， 正四面体 ABCD をすっぽり入れることはできない． なぜならもしできたとする．正四面体の中心 O を中心とする球面のうち， この円柱の内部にくる部分は2つある．正四面体の頂点は4個あるので，少なくとも 一方には2つ以上の頂点が来る．それを $\mathrm{A}',\ \mathrm{C}'$ とする． このとき $\angle \mathrm{A'OC'}$ を考えると，これは明らかに

$$\angle \mathrm{A'OC'}<\angle \mathrm{AOC}$$

なので矛盾である． ゆえにa<bは必要条件でもある． 求める条件はa<b．