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東北大前期理系

四面体 ABCD は各辺の長さが１の正四面体とする．

(1)

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} =\overrightarrow... ...cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} =1\cdot1\cdot\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ である．ゆえに

$$\begin{eqnarray*}\vert\overrightarrow{\mathrm{BP}}\vert^2 &=&\vert\overrightarr... ...row{\mathrm{AD}}\vert^2\\ &=&(l-1)^2+m^2+n^2+(l-1)m+mn+n(l-1) \end{eqnarray*}$$

他も同様である． したがって $\vert\overrightarrow{\mathrm{BP}}\vert=\vert\overrightarrow{\mathrm{CP}}\vert$ より

(l-1)²+m²+n²+(l-1)m+mn+n(l-1)=l²+(m-1)²+n²+l(m-1)+(m-1)n+nl

これから l=m を得る．同様に m=n であるから l=m=n が示された． このとき $\vert\overrightarrow{\mathrm{BP}}\vert^2=6l^2-4l+1$なので

$$\vert\overrightarrow{\mathrm{BP}}\vert=\sqrt{6l^2-4l+1}$$

(2)

点 Pは(1)の条件を満たし，かつ $\vert\overrightarrow{\mathrm{BP}}\vert=1$ となる点である．ゆえに 6l²-4l+1=1 より $l=0,\ \dfrac{2}{3}$ ． l=0 は P=A のときだから， $l=\dfrac{2}{3}$ ．つまり

$$\overrightarrow{\mathrm{AP}} =\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\m... ...arrow{\mathrm{AC}} +\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$$

同様に

$$\overrightarrow{\mathrm{DQ}} =\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\m... ...arrow{\mathrm{DB}} +\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{DC}}$$

よって

$$\overrightarrow{\mathrm{BP}} =\overrightarrow{\mathrm{AP}}-\... ...arrow{\mathrm{AC}} +\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$$

同様に

$$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{\mathrm{BQ}} &=&\overrightarrow{\mathrm{DQ}}-\... ...{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}} \end{eqnarray*}$$

これから

$$\overrightarrow{\mathrm{BP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BQ}}... ...hrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right) =-\dfrac{7}{18}$$

$\vert\overrightarrow{\mathrm{BP}}\vert=\vert\overrightarrow{\mathrm{BQ}}\vert=1$なので

$$∴ \quad \cos \angle \mathrm{PBQ} =\dfrac{\overrightarrow{\m... ...}}\vert\vert\overrightarrow{\mathrm{BQ}}\vert}=-\dfrac{7}{18}$$