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名大前期文系

(1)

$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2)$ ， $\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2)$ とおく．

$$t=\alpha\beta+\alpha^2\beta^2 =\left(\alpha\beta+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}$$

ここで $\alpha\beta$ はすべての実数値をとりうる．だから，t のとりうる値の範囲は

$$t \ge -\dfrac{1}{4}$$

(2)

t=2 より

$$\alpha\beta+\alpha^2\beta^2=2$$

これから $(\alpha\beta-1)(\alpha\beta+2)=0$ なので $\alpha\beta=1,\ -2$ ． 一方 $\mathrm{P}(X,\ Y)$ とおくと

$$X=\alpha+\beta,\ \quad Y=\alpha^2+\beta^2$$

これから $Y=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta＝X^2-2\alpha\beta$

(a)

$\alpha\beta=1$のとき．Y=X²-2 ．さらに $\alpha,\ \beta$ は

t²-Xt+1=0

の解なので，これが実数であるために

$$X^2-4\ge0$$

これらが $(X,\ Y)$ のみたすべき必要十分条件である．ゆえに求める軌跡は

$$y=x^2-2 \quad (x\le -2,\ 2\le x)$$

(b)

$\alpha\beta=-2$のとき．Y=X²+4 ．さらに $\alpha,\ \beta$ は

t²-Xt-2=0

の解であるが，これはつねに実数解である． ゆえに求める軌跡は

y=x²+4