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東大理系後期

区間 $[0,\ 1]$ において関数 f(x) を

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 2x& \left(x\le \dfrac{1}{2}... ...t)\\ -2x+2& \left(x>\dfrac{1}{2} \right) \end{array}\right.$$

とおく． $0\le a_1 \le1$ をみたす実数 a₁ を初期値として数列 $\{a_n\}$ を

$$a_n=f(a_{n-1})\ (n=2,\ 3,\ \cdots)$$

で定める．このとき次の問いに答えよ．

(1)

f(b)=b を満たす， $0\le b \le 1$なる実数 b をすべて求めよ．

(2)

a₄ が(1)で求めた b の値の1つに等しくなるような初期値 a₁ をすべて求めよ．

(3)

条件「ある $n\ge 1$ に対して，a_nが(1)で求めた b の値の1つに等しくなる」 をみたす初期値は a₁ はどのような実数としてあらわされるか．

(4)

初期値は a₁ が(3)の条件をみたさないとき， $a_n\ge \dfrac{3}{4}$ となるような $n\ge 1$ が存在することを示せ．

(5)

数列$\{a_n\}$が收束するために初期値はa₁がみたすべき必要十分条件を求めよ．