次: 解答 上: 問題 前: 問題

九大前期理系

平面上の点 P の x 座標と y 座標が，変数 $\theta$ の関数 $f(\theta)=\dfrac{(\theta-\pi)^2}{2\pi^2}+\dfrac{1}{2}$ を用いて $\left\{ \begin{array}{l} x=f(\theta)\cos \theta \\ y=f(\theta)\sin \theta \end{array}\right.$と表されている．$\theta$ が $0\le \theta \le 2\pi$ の範囲で変化したとき， 点 Pが描く曲線を C とする． Pを $\mathrm{P}(\theta)$で表し， P₁=P(0)， $\mathrm{P}_2=\mathrm{P}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$， $\mathrm{P}_3=\mathrm{P}(\pi)$とおく． 次の問いに答えよ．

(1)

方程式 で与えられる楕円が点 P₁ を通るとする． このとき，点 P₃がこの楕円の内部に含まれる(ただし，楕円の上にない) ための必要十分条件を $\alpha$ のみを用いて表せ．

(2)

点 P₂における曲線 C の接線を l とする． l の方程式を 求めよ．

(3)

次の条件(i)，(ii)，(iii)をみたす楕円 D を考える．

(a)

D の軸の一つは x 軸上にある．

(b)

D は点 $\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2$を通る．

(c)

点 P₂における D の接線は l である．

このとき，点 P₃は楕円 D の内部に含まれるかどうか判定せよ．