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千葉大理系後期

(1)

$\dfrac{k\theta+\alpha}{\pi}$ が整数とならないようなすべての実数 $k,\ \theta,\ \alpha$ に対して

$$\dfrac{\sin((k+1)\theta+\alpha)}{\sin(k\theta+\alpha)} =2\cos \theta -\dfrac{\sin((k-1)\theta+\alpha)}{\sin(k\theta+\alpha)}$$

が成り立つことを示せ．

(2)

$p=\cos\theta \left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2} \right)$ とする．実数 $\alpha_1$ を $\alpha_1\ge p$ となるようにとり，

$$\alpha_j>0\ ならば，\ \alpha_{j+1}=2p-\dfrac{1}{\alpha_j}$$

によって実数 $\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots$ を順次定める．このとき，ある正の整数 n があって $\alpha_j>0\ (j=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$ かつ $\alpha_{n+1}\le 0$ になることを示せ．

(3)

(2)において， $\theta=\dfrac{\pi}{100}$ とする． $\alpha_1$ の値がかわるとき， (2)の n の最大値を求めよ．