名大前期理系

(1)

a_m>0 であることを数学的帰納法で示す．定義よりa₁=1>0 ．a_m-1>0 とする． f(x)>0 より

$\begin{displaymath}a_m=\int_0^{a_{m-1}}f(x)\,dx>0 \end{displaymath}$

ゆえに $m\ge 1$ に対してa_m>0 である．このとき $m\ge 2$ に対して f(x)<1なので

$\begin{displaymath}a_m=\int_0^{a_{m-1}}f(x)\,dx<\int_0^{a_{m-1}}1\,dx=a_{m-1} \end{displaymath}$

よって $a_1>a_2>\cdots >a_{m-1}>a_m>\cdots$ となることが示された．

(2)

$\dfrac{1}{2002}>a_m$ となる m が存在しないと仮定する．このときつねに $\dfrac{1}{2002}\le a_m$ が成り立つ．したがって

$\begin{displaymath}\dfrac{1}{2002}\le \lim_{m \to \infty} a_m \end{displaymath}$ …①

$\maru{2}$ は $\maru{1}$ と矛盾する．したがって $\dfrac{1}{2002}>a_m$ となる m が存在することが示された．

AozoraGakuen
2002-06-21