別解
掲示板に投稿のあった解答である.
チーム名を $ i\ (1\leqq i \leqq 4) $ とし,確率変数 $ X_i $ を
\[
X_i=
\left\{
\begin{array}{ll}
1&(iが1位)\\
0&(iが2位以下)
\end{array}
\right.
\]
とする.1位のチーム数 $ X $ は
$ X=X_1+X_2+X_3+X_4 $ である.その期待値は
\[
E(X)=E(X_1+X_2+X_3+X_4)
=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)
\]
である.試行の条件からチーム $ i $ が1位となる確率は,
すべて等しい.これを $ p $ とする.
チーム $ i $ が1位となるのは,3戦全勝するか,または2勝1敗で,
チーム $ i $に勝ったチームが残る2チームに全勝はしないときである.よって,
\[
p=\left(\dfrac{1}{2} \right)^3+{}_3 \mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{2} \right)^3\left\{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \right\}=\dfrac{13}{32}
\]
\[
E(X_i)=1\cdot p+0\cdot(1-p)=p
\]
なので,
\[
E(X)=4\cdot\dfrac{13}{32}=\dfrac{13}{8}
\]
である.