東大前期文科理科1番問題
解説 問題を一般化しよう．このような問題では，単に解けたということで満足せず，いろいろ考えよう．
それがいちばん力をつける方法である．
\[
f'(t)=\dfrac{3(t+4)^2t^2-(t+4)^3(2t)}{t^4}=\dfrac{(t-8)(t+4)^2}{t^3}
\]
なので， $ f'(t) $ は $ t=8 $ でのみ正から負に変わり， $ f(t) $ はここで極小で最小である．
$ \dfrac{4}{9}\cdot f(8)=12 $ であるから $ a=2\sqrt{3} $
$ t=8\iff 3m^2-1=8 $ より $ m=\sqrt{3} $ のとき最小値 $ 2\sqrt{3} $ である．
さらにこのとき，
\begin{eqnarray*}
r&=&\dfrac{3m^3+7m}{2(1-3m^2)}=\dfrac{16\sqrt{3}}{-16}=-\sqrt{3}\\
p,\ q&=&\dfrac{m-3m^3\mp2\sqrt{3}(1+m^2)}{2(1-3m^2)}\\
&=&\dfrac{-8\sqrt{3}\mp8\sqrt{3}}{-16)}=\sqrt{3},\ 0
\end{eqnarray*}
となる．
注意
「実際に条件を満たす点の存在は確認しなくてよいのか」という質問があった．
問題は「条件を満たす点があるとき， $ a $ の値はいくらか」であるから，
これは $ a $に関する必要条件であり，存在の確認は必要ない．
ただし， $ p ，q，r $が確定するので，十分条件でもある。
また実際に座標を求めることもできる．
\[
p+r+q+r=-\dfrac{8\sqrt{2}}{5}
\]
なので $ 2r=-\dfrac{8\sqrt{2}}{5}-\sqrt{2} $ から
\[
r=-\dfrac{4\sqrt{2}}{5}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=-\dfrac{13\sqrt{2}}{10}
\]
また， $ (p-q)^2=\dfrac{108}{25} $ であるから $ (p+q)^2=2 $ とあわせて $ pq=-\dfrac{29}{50} $ となり
$ p $ と $ q $ は，2次方程式
\[
t^2-\sqrt{2}t-\dfrac{29}{50}=0
\]
の2つの解となる．つまり
\[
p,\ q=\dfrac{5\sqrt{2}\pm6\sqrt{3}}{10}
\]
$ a=\dfrac{18}{5} $ は，題意を満たす正三角形が存在するための十分条件でもある．