(1) $ S_k(2)=1+2^k $ であるから \begin{eqnarray*} T_m(1)&=&\sum_{k=1}^{m-1}{}_m \mathrm{C}_kS_k(1) =\sum_{k=1}^{m-1}{}_m \mathrm{C}_k\\ &=&(1+1)^m-{}_m \mathrm{C}_0-{}_m \mathrm{C}_m=2^m-2\\ T_m(2)&=&\sum_{k=1}^{m-1}{}_m \mathrm{C}_kS_k(2) =\sum_{k=1}^{m-1}{}_m \mathrm{C}_k(1+2^k)\\ &=&\sum_{k=1}^{m-1}{}_m \mathrm{C}_k +\sum_{k=1}^{m-1}{}_m \mathrm{C}_k2^k\\ &=&2^m-2+(1+2)^m-{}_m \mathrm{C}_0-{}_m \mathrm{C}_m2^m=3^m-3 \end{eqnarray*}
(2) (1)から $ T_m(n)=(n+1)^m-(n+1) $ と推測される．
$ n $ のときの成立を仮定する．このとき，
\begin{eqnarray*}
T_m(n+1)&=&\sum_{k=1}^{m-1}{}_m \mathrm{C}_kS_k(n+1)\\
&=&\sum_{k=1}^{m-1}{}_m \mathrm{C}_k\{S_k(n)+(n+1)^k\}
=T_m(n)+\sum_{k=1}^{m-1}{}_m \mathrm{C}_k(n+1)^k\\
&=&(n+1)^m-(n+1)+(1+n+1)^m-{}_m \mathrm{C}_0-{}_m \mathrm{C}_m(n+1)^m\\
&=&(n+2)^m-(n+2)
\end{eqnarray*}
$ n+1 $ のときも成立した．また $ n=1 $ でも成立しているので，
$ n $ に関する数学的帰納法によりすべての $ n $ で
\[
T_m(n)=(n+1)^m-(n+1)
\]
である．
※ 直接求めることもできる．
\begin{eqnarray*}
T_m(n)&=&\sum_{k=1}^{m-1}{}_m \mathrm{C}_kS_k(n)
=\sum_{k=1}^{m-1}{}_m \mathrm{C}_k\left(\sum_{j=1}^{n}j^k \right)\\
&=&\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{k=1}^{m-1}{}_m \mathrm{C}_kj^k \right)
=\sum_{j=1}^{n}\left\{(1+j)^m-j^m-1\right \}\\
&=&\sum_{j=1}^{n}\left\{(1+j)^m-j^m\right \}-n=(1+n)^m-1-n
\end{eqnarray*}
より成立する．
(3) $ p $ が3以上の素数のとき， $ S_k(p-1)\quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ p-2) $ が $ p $ の倍数であることを， $ k $ についての数学的帰納法で示す． \[ S_1(p-1)=1+2+\cdots+(p-1)=\dfrac{p(p-1)}{2} \] $ p $ は奇素数なので $ \dfrac{p(p-1)}{2} $ は $ p $ の倍数である． $ S_1(p-1) $ から $ S_{k-1}(p-1) $ がすべて $ p $ の倍数とする． $ T_m(p-1) $ の定義式を $ m=k+1 $ で用いる． そのために和を $ j $ でとる． \begin{eqnarray*} T_{k+1}(p-1)&=&\sum_{j=1}^{k}{}_{k+1} \mathrm{C}_jS_j(p-1)\\ &=&\sum_{j=1}^{k-1}{}_{k+1} \mathrm{C}_jS_j(p-1) +{}_{k+1}\mathrm{C}_kS_k(p-1)\\ &=&\sum_{j=1}^{k-1}{}_{k+1} \mathrm{C}_jS_j(p-1) +(k+1)S_k(p-1) \end{eqnarray*} $ T_{k+1}(p-1)=p^{k+1}-p $ は $ p $ の倍数である． 帰納法の仮定から $ \displaystyle \sum_{j=1}^{k-1}{}_{k+1} \mathrm{C}_jS_j(p-1) $ は $ p $ の倍数である． よって $ (k+1)S_k(p-1) $ が $ p $ の倍数になる． $ k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ p-2 $ に対して $ k+1 $ は $ p $ と互いに素． よって $ S_k(p-1) $ が $ p $ の倍数となり， $ k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ p-2 $ に対して $ S_k(p-1) $ が $ p $ の倍数であることが示された．