2015年入試問題研究に戻る阪大理系2番文系1番解答
$ f(x,\ y)=x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} $ とおく．
実数 $ x,\ y $ が $ |x|\leqq 1 $ と $ |y|\leqq 1 $ を満たすので， $ x=\cos\alpha $ ， $ y=\cos\beta $ となる実数 $ \alpha $ ， $ \beta $ が， $ 0\leqq \alpha,\ \beta\leqq \pi $ に存在する． このとき $ \sin\alpha\geqq 0,\ \sin\beta\geqq 0 $ なので \begin{eqnarray*} f(x,\ y)&=&\cos^2\alpha+\cos^2\beta-2\cos^2\alpha\cos^2\beta +2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta\\ &=&\cos^2\alpha(1-\cos^2\beta)+\cos^2\beta(1-\cos^2\alpha)+2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta\\ &=&\cos^2\alpha\sin^2\beta+\cos^2\beta\sin^2\alpha+2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta =(\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha)^2=\sin^2(\alpha+\beta) \end{eqnarray*} となる．よって， \[ 0\leqq f(x,\ y)\leqq 1 \] である．
ここで $ f(x,\ y)=0 $ となるのは $ \sin(\alpha+\beta)=0 $ ，つまり $ \alpha+\beta $ が $ \pi $ の整数倍のとき． $ 0\leqq \alpha,\ \beta\leqq \pi $ では \[ (\alpha,\ \beta)=(0,\ 0),\ (\pi,\ \pi),\ \quad および\ \alpha+\beta=\pi \] のとき．よって \[ (x,\ y)=(1,\ 1),\ (-1,\ -1),\ \quad および\ y=-x \] のとき．
また $ f(x,\ y)=1 $ となるのは $ \sin(\alpha+\beta)=\pm 1 $ ， つまり $ \alpha+\beta $ が $ \dfrac{\pi}{2} $ の整数倍のとき． $ 0\leqq \alpha,\ \beta\leqq \pi $ では \[ (\alpha,\ \beta)=\left(0,\ \dfrac{\pi}{2}\right),\ \left(\dfrac{\pi}{2},\ 0\right),\ \quad および\ \alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2} \] のとき． $ \cos(\alpha+\beta)=xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} $ なので， 条件 $ \alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2} $ は $ xy=\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}=0 $ と同値である．よって \[ (x,\ y)=(\pm 1,\ 0),\ (0,\ \pm1),\ \quad および\ xy=\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} \] のとき．
注意 問題文は，不等式の成立のみを問うているので，前半まででよい．
「値域を求めよ」「最大値，最小値を求めよ」なら，少なくとも等号が成立する $ x,\ y $ の存在を確認しなければならない．
その場合の参考に，等号が成立する必要十分条件まで求めた． このような問題は，どのようなときに等号が成立するのかも考えるようにしよう．