2015年入試問題研究に戻る京大文理5番解答
$f(x)$ を $g(x)$ で割ることにより \[ f(x)=(px+q)(dx+e)+r \] とする．このとき \[ \dfrac{f(x)}{g(x)}=px+q+\dfrac{r}{dx+e} \] である．すべての正の整数 $n$ に対して $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ が整数であるから， \[ \dfrac{f(n+1)}{g(n+1)}-\dfrac{f(n)}{g(n)}=p-\dfrac{dr}{(dn+d+e)(dn+e)} \] が任意の正整数 $n$ で整数となる． さらに，階差をとる． \begin{eqnarray*} &&\dfrac{f(n+2)}{g(n+2)}-\dfrac{f(n+1)}{g(n+1)}-\left\{\dfrac{f(n+1)}{g(n+1)}-\dfrac{f(n)}{g(n)}\right\} \quad \quad \cdots（1）\\ &=&-\dfrac{dr}{(dn+2d+e)(dn+d+e)}+\dfrac{dr}{(dn+d+e)(dn+e)}\\ &=&\dfrac{dr\{-(dn+e)+(dn+2d+e)\}}{(dn+2d+e)(dn+d+e)(dn+e)}=\dfrac{2d^2r}{(dn+2d+e)(dn+d+e)(dn+e)} \end{eqnarray*} これがすべての $n$ で整数である． ここで $d^2r\ne 0$ とすると， $\left|\dfrac{2d^2r}{(dn+2d+e)(dn+d+e)(dn+e)}\right|$ は $n$ が増加すれば単調に減少しいくらでも小さくなる．よって \[ 0< \left|\dfrac{2d^2r}{(dm+2d+e)(dm+d+e)(dm+e)}\right|< 1 \] となる正整数 $m$ がある．このとき $n >m$ である $n$ に関して $(1)$ は整数ではあり得ない． よって $d^2r=0$ である．$d>0$ より $r=0$ ．つまり， $f(x)$ は $g(x)$ で割り切れる．