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同大理工〔1〕(2)の一般化問題

原題

箱から玉を1個取り出し,この玉に1個の玉を新たに加えた合計2個の玉を箱に戻す試行を繰り返す. 新たに加える玉の色は白あるいは黒のみとする.
最初に,2個の白玉と3個の黒玉が入っている箱を考える. 新たに加える玉の色は取り出した玉と同色とすると,3回目の試行において白玉を取り出す確率は $ 〔   〕 $ , $ n $ 回目の試行において白玉を取り出す確率 $ P_n $ は $ 〔   〕 $ , 極限 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n $ は $ 〔   〕 $ である.
次に,3個の白玉と4個の黒玉が入っている箱を考える. 新たに加える玉の色は取り出した玉と異なる色とすると.3回目の試行において白玉を取り出す確率は $ 〔   〕 $ である. $ n $ 回目の試行において白玉を取り出す確率を $ Q_n $ とすると, $ Q_n $ は漸化式 $ Q_n=〔   〕Q_{n-1}+\dfrac{1}{6+n}\ (n \geqq 2) $ を満し, 極限 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n $ は $ 〔   〕 $ である.

本問は解答のみの問題である.結論そのものは論述なしでも見当がつく. そこで,これを一般化して次のような試行とし,いくつかの方法で漸化式を求めよう.
解答の方法2,方法3は,掲示板のかたつむりさんの投稿にもとづくものである. いろいろと教えられた.

問題の一般化

箱の中に $ a $ 個の白玉と $ b $ 個の黒玉がある.

問題1  1回の試行で箱から1個の玉を取り出し,取り出した玉と同色の玉を $ c $ 個加えて箱に戻す. $ n $ 回目の試行において白球を取り出す確率を $ P_n $ とする.
$ P_n $ の満たす漸化式と, $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n $ を求めよ.

問題2  1回の試行で箱から1個の玉を取り出し,取り出した玉と異なる色の玉を $ c $ 個加えて箱に戻す. $ n $ 回目の試行において白球を取り出す確率を $ Q_n $ とする.
$ Q_n $ の満たす漸化式と, $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n $ を求めよ.

さらに次のように一般化できる.

問題  1回の試行で箱から1個の玉を取り出して確認し箱に戻す. さらに, 取り出した玉と同じ色の玉を $ c $ 個, 取り出した玉と異なる色の玉を $ d $個,箱に加える.
$ c $ と $ d $ は負の整数でもよい. つまり玉を取り出す場合も含む. ただしその場合,取り出せなくなったところで試行を終える.
$ n $ 回目の試行において白球を取り出す確率を $ R_n $ とする. $ R_n $ の満たす漸化式と, $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}R_n $ を求めよ.

解答