2016年入試問題研究に戻る京大理系2番解答
$ N=p^q+q^p $ とおく． $ N $ は $ p $ と $ q $ について対称である．
一方が2のとき． $ p=2 $ とする． $ q=2 $ なら $ N=8 $ なので， $ q $ は奇素数であることが必要である．
$ q\equiv \pm 1 \ (\bmod \ 3) $ ならば， $ 2^q\equiv (-1)^q=2 \ (\bmod \ 3) $ であり， $ q^2\equiv 1 \ (\bmod \ 3) $ なので， \[ N\equiv 2^q+q^2\equiv 2+1\equiv 0 \ (\bmod \ 3) \] で， $ N $ は素数なので， $ N=3 $ であるが， このとき $ q=1 $ となり $ q $ は素数ではない．
$ q\equiv 0 \ (\bmod \ 3) $ のときは $ q=3 $ で，このとき \[ N=p^q+q^p=2^3+3^2=17 \] は素数である．
$ p,\ q $ とも3以上のとき． $ p $ と $ q $ はともに奇数であり $ N $ は偶数となる．素数なので $ N=2 $ である． $ p^q+q^p\geqq 3^3+3^3 $ なので，これはありえない．
よって，素数 $ p,\ q $ を用いて $ p^q+q^p $ と表される素数は17のみである．