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京大文系3番解答

$ n $ が4以上の自然数なので, $ n $ 進法で表された数2,12,1331を十進法で記すと \[ 2,\ n+2,\ n^3+3n^2+3n+1 \] である.つまり, \[ 2^{n+2}=n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3 \] が成り立っている.左辺は2のべきなので, $ n+1 $ も2のべきである. $ n+1=2^p $ とおく. $ n+1\geqq 5 $ より $ p\geqq 3 $ で,これから \[ 2^{2^p+1}=2^{3p} \] つまり, \[ 2^p+1=3p \quad \cdots@ \] となる.ここで, $ p\geqq 3 $ なので, \begin{eqnarray*} 2^p+1&=&(1+1)^p+1 =1+1+p+{}_p\mathrm{C}_2+\cdots\\ &\geqq &1+1+p+\dfrac{p(p-1)}{2} \end{eqnarray*} より, \[ 3p\geqq 1+1+p+\dfrac{p(p-1)}{2} \] つまり \[ \dfrac{(p-1)(p-4)}{2}\leqq 0 \] よって, $ p=3,\ 4 $ が必要であり,このうち @ を満たすのは $ p=3 $ である. このとき $ n $ は \[ n=2^3-1=7 \] である.

問題