2016年入試問題研究に戻る京大特色入試総人理系2番
問1 関数 $ f(x) $ は微分可能なので，連続である． 区間 $ [0,\ x] $ で平均値の定理を用いると \[ \dfrac{f(x)-f(0)}{x}=f'(c) \] となる $ c $ が $ (0,\ x) $ に存在する． $ f''(x)< 0 $ より $ f'(0) > f'(c) $ である． よって \[ \dfrac{f(x)-f(0)}{x}=f'(c)< f'(0) \] から，不等式 \[ f(x)< f'(0)x+f(0) \] が成り立つ． $ f'(0)< 0 $ なので， \[ \lim_{x \to \infty}f(x)=-\infty \] である． $ f'(x)< 0 $ より $ f(x) $ は単調減少で， $ f(0) > 0 $ であるから， この結果， $ f(a)=0 $ を満たす正の数 $ a $ がただ1つ存在する．
問2 曲線 $ y=f(x) $ の点 $ (t,\ f(t))\ (0\leqq t \leqq a) $ における曲線の接線の方程式は， \[ y=f'(t)(x-t)+f(t) \] である． $ x $ 軸， $ y $ 軸との交点はそれぞれ， \[ \left(-\dfrac{f(t)}{f'(t)}+t,\ 0 \right),\ \left(0,\ -tf'(t)+f(t) \right) \] であるから， \[ S(t)=\dfrac{1}{2}\left\{-\dfrac{f(t)}{f'(t)}+t \right\}\left\{ -tf'(t)+f(t)\right\} =\dfrac{\{f(t)-tf'(t)\}^2}{-2f'(t)} \] である．よって， \[ S'(t)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\{f(t)-tf'(t)\}\{tf'(t)+f(t)\}f''(t)}{{f'(t)}^2} \] 区間 $ (0,\ a) $ で $ f(t) > 0 $ で， $ f'(t)< 0,\ f''(t)< 0 $ より， $ \{f(t)-tf'(t)\}f''(t)< 0 $ である． \[ g(t)=tf'(t)+f(t) \] とおく． \[ g'(t)=2f'(t)+tf''(t)< 0 \] であり， \[ g(0)=f(0) > 0,\ g(a)=af'(a)< 0 \] であるから， $ g(t) $ は区間 $ (0,\ a) $ で正から負に変わり， $ g(t)=0 $ となる $ t $ がこの区間にただ1つ存在する． よって， $ S'(t) $ は区間 $ (0,\ a) $ で負から正に変わり， $ S'(t)=0 $ となる $ t $ がこの区間にただ1つ存在する． つまり， $ S(t) $ の最小値を与える点が区間 $ (0,\ a) $ 内にただ１つ存在する．