名大理系4番解答
条件 $ (*) $ は次の連立方程式と同値である．
\[
(*)
\left\{
\begin{array}{l}
c+d=-a,\ cd=b\\
e+f=-c,\ ef=d\\
a+b=-e,\ ab=f
\end{array}
\right.
\]
第2，第4，第6式の両辺をかけて $ abcdef=bdf $ より $ bdf(ace-1)=0 $ ．
$ bdf=0 $ のとき． $ b=0 $ とすると，第4，第6式によって $ d=f=0 $ ．この結果，第1，第3，第5式より，
$ a+c=0 $ ， $ c+e=0 $ ， $ e+a=0 $ となり， $ a=c=e=0 $ ．
$ ace=1 $ のとき．すべて整数なので，3個のうち1個が1で2個が $ -1 $ であるか，すべて1である．
$ a=1 $ ， $ c=e=-1 $ とする．第1，第3，第5式より $ b=0 $ ， $ d=0 $ ， $ f=2 $ となるが，
第4式をみたさない．
$ a=c=e=1 $ とする． $ b=d=f=-2 $ となる．よって
\[
(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f)=(0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0)，
(1,\ -2,\ 1,\ -2,\ 1,\ -2)
\]
(2)
(i) 条件 $ (**) $ は，
\[
a_n,\ b_nは整数,\
a_{n+1}+b_{n+1}=-a_n,\
a_{n+1}\cdot b_{n+1}=b_n
\]
と同値である．
すべての $ n $ で $ b_n=0 $ なら $ a_{n+1}=-a_n $ となる $ a_n $ は条件を満たす．
$ b_{n}\ne 0 $ となる $ n $ があるとき．
$ a_{n+1}\cdot b_{n+1}=b_n $ より， $ b_{n+1}\ne 0 $ で $ a_{n+1}=\dfrac{b_n}{b_{n+1}} $ である．
$ a_{n+1} $ は0でない整数なので，
\[
\left|a_{n+1}\right|=\dfrac{|b_n|}{|b_{n+1}|}\ge 1
\]
である．つまり $ |b_n|\ge |b_{n+1}|\ge 1 $ が成り立つ．
$ |b_n|>N\ge 1 $ となる $ N $ は有限個であるから， $ |b_n|> |b_{n+1}| $
となる番号 $ n+1 $ は有限個である．したがって，
$ |b_n|> |b_{n+1}| $ となる $ n+1 $ のなかで最大のものを $ m $ とすれば，
$ |b_m|=|b_{m+1}|=|b_{m+2}|=\cdots $ となる．条件 $ (*) $ は次の連立方程式と同値である．
\[
(*)
\left\{
\begin{array}{l}
c+d=-a,\ cd=b\\
e+f=-c,\ ef=d\\
a+b=-e,\ ab=f
\end{array}
\right.
\]
第2，第4，第6式の両辺をかけて $ abcdef=bdf $ より $ bdf(ace-1)=0 $ ．
$ bdf=0 $ のとき． $ b=0 $ とすると，第4，第6式によって $ d=f=0 $ ．この結果，第1，第3，第5式より，
$ a+c=0 $ ， $ c+e=0 $ ， $ e+a=0 $ となり， $ a=c=e=0 $ ．
$ ace=1 $ のとき．すべて整数なので，3個のうち1個が1で2個が $ -1 $ であるか，すべて1である．
$ a=1 $ ， $ c=e=-1 $ とする．第1，第3，第5式より $ b=0 $ ， $ d=0 $ ， $ f=2 $ となるが，
第4式をみたさない．
$ a=c=e=1 $ とする． $ b=d=f=-2 $ となる．よって
\[
(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f)=(0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0)，
(1,\ -2,\ 1,\ -2,\ 1,\ -2)
\]
(2)
(i) 条件 $ (**) $ は，
\[
a_n,\ b_nは整数,\
a_{n+1}+b_{n+1}=-a_n,\
a_{n+1}\cdot b_{n+1}=b_n
\]
と同値である．
すべての $ n $ で $ b_n=0 $ なら $ a_{n+1}=-a_n $ となる $ a_n $ は条件を満たす．
$ b_{n}\ne 0 $ となる $ n $ があるとき．
$ a_{n+1}\cdot b_{n+1}=b_n $ より， $ b_{n+1}\ne 0 $ で $ a_{n+1}=\dfrac{b_n}{b_{n+1}} $ である．
$ a_{n+1} $ は0でない整数なので，
\[
\left|a_{n+1}\right|=\dfrac{|b_n|}{|b_{n+1}|}\ge 1
\]
である．つまり $ |b_n|\ge |b_{n+1}|\ge 1 $ が成り立つ．
$ |b_n|>N\ge 1 $ となる $ N $ は有限個であるから， $ |b_n|> |b_{n+1}| $
となる番号 $ n+1 $ は有限個である．したがって，
$ |b_n|> |b_{n+1}| $ となる $ n+1 $ のなかで最大のものを $ m $ とすれば，
$ |b_m|=|b_{m+1}|=|b_{m+2}|=\cdots $ となる．
