2016年入試問題研究に戻る

首都大解答

(1)　 $ n $ についての数学的帰納法で示す． $ n=1 $ のときは $ a_1=a $ で $ 0\leqq a\leqq 1 $ より成立． $ 0\leqq a_k\leqq 1 $ とする．このとき，漸化式から \[ 0 \leqq a_{k+1}=\dfrac{1}{2}\left({a_k}^2+b \right) < \dfrac{1}{2}\left(1+1 \right)=1 \] で成立．よって，自然数 $ n $ に対して， $ 0\leqq a_n\leqq 1 $ が成立する．
(2)　 $ \sqrt{1-b}=1-c $ より， $ b=1-(1-c)^2 $ である．よって， \begin{eqnarray*} a_{n+1}-c&=&\dfrac{1}{2}\left\{{a_n}^2+1-(1-c)^2 \right\}-c\\ &=&\dfrac{1}{2}\left\{{a_n}^2+1-(1-c)^2 -2c\right\} =\dfrac{1}{2}\left({a_n}^2-c^2 \right)\\ &=&\dfrac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c) \end{eqnarray*} である．
(3)　(2)より \[ \left|a_{n+1}-c \right|=\dfrac{1}{2}\left|(a_n+c)(a_n-c) \right|= \dfrac{a_n+c}{2}\left|a_n-c\right| \] ここで， \[ 0\leqq \dfrac{a_n+c}{2}\leqq\dfrac{1+c}{2} \] より \[ \left|a_{n+1}-c \right|\leqq \dfrac{1+c}{2}\left|a_n-c\right| \] がすべての $ n $ で成立する．よって， \[ \left|a_n-c \right|\leqq \left(\dfrac{1+c}{2}\right)^{n-1}\left|a_1-c\right| \] $ 0\leqq c< 1 $ なので $ 0\leqq \dfrac{1+c}{2}< 1 $ であるから， $ \displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\dfrac{1+c}{2}\right)^{n-1}=0 $ である．よって \[ \lim_{n\to \infty}\left|a_n-c \right|=0 \] となり， $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=c $ が成り立つことが示された．

問題