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奈良医後期

$ S $ を $ a+b\sqrt{2} $ (但し $ a $ , $ b $ は整数)の形に表される数すべての集合とする. $ S $ に属する任意の数 $ z=a+b\sqrt{2} $ (但し $ a $ , $ b $ は整数)に対して, $ N(z)=a^2-2b^2 $ とおく.

(1) $ S $ に属する任意の数 $ z $ , $ w $ に対して, $ z+w\in S $ , $ zw\in S $ かつ $ N(zw)=N(z)N(w) $ が成り立つことを証明せよ.

(2) $ S $ に属する零でない数 $ z=x+y\sqrt{2} $ ( $ x $ , $ y $ は整数)の逆数 $ z^{-1} $ が $ S $ に属するための必要十分条件は, $ x^2-2y^2=1,\ -1 $ であることを証明せよ.

(3) $ 1< z < 1+\sqrt{2} $ を満たすような $ S $ の数 $ z $ で, その逆数 $ z^{-1} $ も $ S $ に属するものは存在しないことを証明せよ.

(4) $ S $ に属する零でない数 $ z $ で,その逆数 $ z^{-1} $ も $ S $ に属するものはすべて $ (1+\sqrt{2})^n $ , $ -(1+\sqrt{2})^n $ ( $ n $ は整数)によって与えられることを証明せよ.

解答