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京大理系2番

四面体 $\mathrm{OABC}$ を考える.点 $\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{H},\mathrm{I}\ $は, それぞれ辺 $\mathrm{OA},\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CO},\mathrm{OB},\mathrm{AC}$ 上にあり, 頂点ではないとする.このとき,次の問に答えよ.

(1) $\overrightarrow{\mathrm{DG}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$が平行ならば $\mathrm{AE}:\mathrm{EB}=\mathrm{CF}:\mathrm{FB}$ であることを示せ.

(2) $\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{H},\mathrm{I}$ が正八面体の頂点となっているとき,これらの点は $\mathrm{OABC}$ の各辺の中点であり, $\mathrm{OABC}$ は正四面体であることを示せ.

解答