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京大理系3番解答

$q=1$のとき.ある整数$k$を用いて,$\beta=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$となる.このとき, \[ \tan(\alpha+2\beta)=\tan\left(\alpha+ \dfrac{\pi}{2}\right) =-\dfrac{1}{\tan \alpha}=-p \] である.よって$\tan(\alpha+2\beta)=2$となる自然数$p$は存在しない.
以下,$q\geqq 2$とする. \[ \tan(\alpha+2\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan2\beta}{1-\tan\alpha\tan2\beta}=2 \] で, \[ \tan2\beta=\dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}=\dfrac{2q}{q^2-1} \] なので,条件式は \[ \dfrac{1}{p}+\dfrac{2q}{q^2-1}=2-\dfrac{4q}{p(q^2-1)} \] となる.これより, \[ q^2-1+2pq=2p(q^2-1)-4q \quad \cdots(1) \] つまり \[ p=\dfrac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)} \] である.$p\geqq 1$が必要である. $q\geqq 2$なので,$q^2-q-1 >0$である. よって$\dfrac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}\geqq 1$より \[ q^2+4q-1\geqq 2(q^2-q-1) \] これより, \[ 2\leqq q \leqq 3+\sqrt{10} \] つまり \[ 2\leqq q \leqq 6 \] さらに$(1)$から$q^2-1$は偶数なので, \[ q=3,\ 5 \] である.

(i) $q=3$のとき.$p=2$となる.
(ii) $q=5$のとき.$p=\dfrac{44}{38}$となり不適である.

よって,条件を満たす$p,\ q$の組は$(p,\ q)=(2,\ 3)$である.

問題