2017年入試問題研究に戻る

京大文系2番解答

(1)  101桁の自然数で最小のものが $ 10^{100} $ であるあるから, 100桁以下の自然数で,2以外の素因数を持たないものの個数は \[ 1 \leqq 2^n< 10^{100} \] となる $ n $ の個数である.これより \[ 0\leqq n \log 2 < 100 \quad つまり 0\leqq n<\dfrac{100}{\log 2} \] となる.ここで \[ \dfrac{100}{0.3011}=332.1\cdots <\dfrac{100}{\log 2}<\dfrac{100}{0.3010}=332.2\cdots \] なので $ 0\leqq n\leqq 332 $ となり,333個である.

(2)  (i) 0以上の自然数 $ n $ を \[ 1 \leqq 2^n< 10^{100} \] となるようにとる. $ 2^n $ が $ k $ 桁であるとする.つまり \[ 10^{k-1}\leqq 2^n< 10^k \] となる.これより, \[ 10^{99}\leqq 2^n\cdot 10^{100-k}<10^{100} \] ここで, $ 2^n\cdot 10^{100-k} =2^{n+100-k}\cdot5^{100-k} $ なので, $ n $ に対して, 100桁の自然数で,2と5以外の素因数を持たないものが1個定まる. そして \[ 素因数2の個数=n+100-k\geqq 100-k=素因数5の個数 \] である.
(ii) 次に, 0以上の自然数 $ m $ を \[ 1 \le 5^m< 10^{100} \] となるようにとる. $ 5^m $ が $ k $ 桁であるとする.つまり \[ 10^{k-1}\le 5^m< 10^k \] となる.これより, \[ 10^{99}\le 5^m\cdot 10^{100-k}<10^{100} \] ここで, $ 5^m\cdot 10^{100-k} =2^{100-k}\cdot5^{m+100-k} $ なので, $ m $ に対して, 100桁の自然数で,2と5以外の素因数を持たないものが1個定まる. そして \[ 素因数2の個数=100-k\le m+100-k=素因数5の個数 \] である.
(i)の $ n $ は(1)から333個ある. (ii)の $ m $ は(1)と同様にして \[ 0\le n<\dfrac{100}{\log 5}=\dfrac{100}{1-\log 2} \] で \[ \dfrac{100}{1-0.3010}=143.061\cdots <\dfrac{100}{\log 5}<\dfrac{100}{1-0.3011}=143.08\cdots \] なので $ 0\le m\leqq 143 $ より, $ m $ は144個である.
(i)と(ii)で重なる可能性があるのは, 素因数2の個数と素因数5の個数が一致する場合で, $ n=m=0 $ , $ k=1 $ ,つまり,2が99個と5が99個の場合の1個である.
よって,100桁の自然数で,2と5以外の素因数を持たないものの個数は \[ 333+144-1=476\ (個) \] である.


(2)の別解  (1)と同様に考え \[ 10^{99}\leqq 2^n5^m< 10^{100} \] をみたす $ (n,\ m) $ の個数が求める個数である. これから, \[ 99 \leqq n \log 2+m \log 5 < 100 \] (i) $ n\geqq m $ のとき. \[ n \log 2+m \log 5=n \log 2+m(1- \log 2)=(n-m)\log 2+m \] より, \[ 99-m \leqq (n-m) \log 2 < 100-m \] ここで $ n-m $ の値を決めると, $ (n-m) \log 2 $ の整数部分が $ 99-m $ となるように $ m $ が決まり, それから $ n $ も決まる. $ (n-m) \log 2 $ の値のとりうる範囲は, $ m $ が $ 0\leqq m $ かつ $ 0< 100-m $ にとれる範囲であり, \[ 0\leqq (n-m) \log 2<100 \] である.(1)から333個ある.
(ii)  $ n\leqq m $ のとき. \[ n \log 2+m \log 5=n(1- \log 5)+m \log 5=(m-n)\log 5+n \] より,同様に $ m-n $ を決めればすべて決まる.その範囲は \[ 0\leqq (m-n) \log 5< 100 \] である. \[ 0\leqq m-n< \dfrac{100}{\log 5}=\dfrac{100}{1-\log 2} \] で \[ \dfrac{100}{1-0.3010}=143.061\cdots <\dfrac{100}{\log 5}<\dfrac{100}{1-0.3011}=143.08\cdots \] なので $ 0\le m-n\le 143 $ より, $ m-n $ は144個である.
i),ii)で重なるのは $ n=m $ のときで,このときは, \[ 10^{99}\leqq (2\cdot5)^n< 10^{100} \] より $ m=n=99 $ の場合の1個りである.
よって,100桁の自然数で,2と5以外の素因数を持たないものの個数は \[ 333+144-1=476\ (個) \] である.

問題