2017年入試問題研究に戻る

神大理系5番解答

(1)  時刻 $ t $ において \[ \mathrm{P}(ct,\ 0) \] であり, \[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}} =\left(r\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\omega t\right),\ r\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+\omega t\right) \right) =\left(r\sin \omega t,\ -r\cos \omega t \right) \] である.従って \[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(x(t),\ y(t))=\left(ct+r\sin \omega t,\ -r\cos \omega t \right) \] である.

(2)  \[ x(t)=ct+r\sin \omega t,\ y(t)=-r\cos \omega t \] において \[ x'(t)=c+r\omega \cos \omega t,\ y'(t)=r\omega \sin \omega t \] である.
ここで $ \dfrac{c}{r\omega}< 1$ と仮定する. このとき, $ c+r\omega \cos \omega t=0 $ ,つまり, $ \cos \omega t=-\dfrac{c}{r\omega} $ となる $ \omega t $ の値は2つある. それを $ \alpha $ と $ \beta $ とする. $ \dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi<\beta<2\pi $ である.このとき, $ 0\leqq \omega t\leqq 2\pi $ の増減は次のようになる. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \omega t&0&\cdots&\alpha&\cdots&\pi&\cdots&\beta&\cdots&2\pi\\ \hline x'(t)&c+r\omega&+&0&-&-&-&0&+&c+r\omega\\ \hline y'(t)&0&+&+&+&0&-&-&-&0\\ \hline \end{array} \] したがって,そのグラフは右上図のようになり,動点Qの描く曲線は交差する. つまり,交点Pを与える $ t $ の値が区間 $ (0,\ \pi) $ と区間 $ (\pi,\ 2\pi) $ のそれぞれにある.
$ \dfrac{c}{r\omega}\geqq 1 $ のとき. $ x'(t)\geqq 0 $ となり, $ x(t_1)=x(t_2) $ となる異なる $ t $ の値は存在しない. 求める条件は, $ \dfrac{c}{r\omega}\geqq 1 $ ,つまり $ \dfrac{r\omega}{c}\leqq 1 $ である.


解説  この曲線は,サイクロイドの1種である. \[ x(s)=s+r\sin s,\ y(s)=1+r\cos s \] とし, $ r=\dfrac{2}{3},\ r=1,\ r=\dfrac{3}{2} $ のときの曲線を描くと右下図になる. このように $ r\leqq 1 $ のとき交差しない.
本問の場合, \[ x(t)=\dfrac{c}{\omega}\left(\omega t+\dfrac{r\omega}{c}\sin \omega t\right) \] と変形できるので, 同様に, $ \dfrac{r\omega}{c}\leqq 1 $ のとき交差しない.

問題