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神大後期理系3番

A$(\alpha)$を原点と異なる複素数平面上の点とし,正の実数$r$は $r\ne |\alpha|$をみたすとする. 等式$\left|\dfrac{1}{z}-\bar{\alpha} \right|=r$をみたす複素数平面上の点 P$(z)$の描く図形を$C$で表す. ただし,$\bar{\alpha}$は$\alpha$と共役な複素数を表す. 以下の問に笞えよ.

(1) $C$が円であることを示し,その中心と半径を求めよ.

(2) 原点Oを中心とする半径1の円を$S$で表す. $C$の中心がA,半径が$r$になるとき, $C$と$S$の共有点が存在することを示せ. さらに,このとき$C$と$S$の任意の共有点Qに対して, $\mathrm{OQ}\bot \mathrm{AQ}$が成り立つことを示せ.

解答