京大特色4番
$xy$平面上の格子点とは，その点の$x$座標と$y$座標がともに整数となる点のことをいう．
$n$を2以上の整数とする．$xy$平面上で不等式
\[
0\leqq x \leqq n-1,\ \quad 0\leqq y,\ \quad \sqrt{5}y\leqq x
\]
で表される領域を$D_n$とする．$D_n$に属する格子点の個数を$S_n$とおく．
例えば，$n=5$のとき，$D_5$に属する格子点は
$(0,\ 0)$，
$(1,\ 0)$，
$(2,\ 0)$，
$(3,\ 0)$，
$(4,\ 0)$，
$(3,\ 1)$，
$(4,\ 1)$の7個であるから，$S_5=7$となる．
また$n=9$のときは，以下のように領域$D_9$に属する格子点は全部で21個存在するから，$S_9=21$である．
以下の設問に答えよ．
解答(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{S_n}{n^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{10}$を示せ．
(2) 以下の条件（$\mathrm{H}$）を満たすような実数$C$は存在しないことを示せ．
（$\mathrm{H}$） すべての自然数$n$について，$ \left|S_n- \dfrac{\sqrt{5}n^2}{10}\right|< C $ が成立する．