2017年入試問題研究に戻る京大特色4番
$xy$平面上の格子点とは，その点の$x$座標と$y$座標がともに整数となる点のことをいう． $n$を2以上の整数とする．$\alpha$を正の実数の定数とし，$xy$平面上で不等式 \[ 0\leqq x \leqq n-1,\ \quad 0\leqq y,\ \quad y\leqq \alpha x \] で表される領域を$D_n$とする．$D_n$に属する格子点の個数を$S_n$とおく．
解答(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{S_n}{n^2}=\dfrac{\alpha}{2}$を示せ．
(2) 以下の条件（$\mathrm{H}$）を満たすような実数$C$が存在するための$\alpha$の条件を求めよ．
\[ （\mathrm{H}） すべての自然数 n について，\left|S_n- \dfrac{n^2\alpha}{2}\right| < C が成立する． \]