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京大特色入試総人理系2番

 双曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ の $x>0$ の部分を $C$,$P(X,\ Y)$ を第1象限の点とする.点 $P$ から $C$ へ接線が2本引けて,それらの接点を $Q\left(\alpha,\ \dfrac{1}{\alpha} \right)$,$R\left(\beta,\ \dfrac{1}{\beta} \right)\ (0< \alpha< \beta)$ とすると $\angle QPR=\dfrac{3}{4}\pi$ となるという.このような点 $P$ 全体の軌跡を $\gamma$ とする.

問1 軌跡 $\gamma$ の方程式を求めよ.

問2 軌跡 $\gamma$,$x$ 軸の $x\geqq 0$ なる部分,$y$ 軸の $y\geqq 0$ なる部分の3つで囲まれる図形の面積を $S$ とすると \[ 4(\sqrt{2}-1)< S< 2 \] が成り立つことを示せ.

解答