2017年入試問題研究に戻る名大理系4番
$ n $ を自然数とする．0でない複素数からなる集合 $ M $ が次の条件(I），(II)，(III)を満たしている．
(I) 集合 $ M $ は $ n $ 個の要素からなる．
(II) 集合 $ M $ の要素 $ z $ に対して， $ \dfrac{1}{z} $ と $ -z $ はともに集合 $ M $ の要素である．
(III) 集合 $ M $ の要素 $ z,\ w $ に対して，その積 $ zw $ は集合 $ M $ の要素である．ただし， $ z=w $ の場合も含める．
このとき，次の問に答えよ．
(1) 1および -1 は集合 $ M $ の要素であることを示せ．
(2) $ n $ は偶数であることを示せ．
(3) $ n=4 $ のとき，集合 $ M $ は一通りに定まることを示し，その要素をすべて求めよ．
(4) $ n=6 $ のとき，集合 $ M $ は一通りに定まることを示し，その要素をすべて求めよ．