2017年入試問題研究に戻る

東大理科4番

%2017東大理科 $ p=2+\sqrt{5} $ とおき,自然数 $ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots $ に対して \[ a_n=p^n+\left(-\dfrac{1}{p} \right)^n \] と定める.以下の問いに答えよ.ただし設問(1)は結論のみを書けばよい.

(1) $ a_1,\ a_2 $ の値を求めよ.

(2) $ n\geqq 2 $ とする.積 $ a_1a_n $ を, $ a_{n+1} $ と $ a_{n-1} $ を用いて表せ.

(3) $ a_n $ は自然数であることを示せ.

(4) $ a_{n+1} $ と $ a_n $ の最大公約数を求めよ.

解答