2017年入試問題研究に戻る東北大理系6番
$a,\ b,\ c$を実数とし， \[ I(a,\ b)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{ax}\cos bx\,dx,\quad J(a,\ b,\ c)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{ax}\sin bx\,\sin cx\,dx \] とおく．ただし，$a\ne 0$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $I(a,\ b)$を求めよ．
(2) $J(a,\ b,\ c)$を$I(a,\ b+c)$と$I(a,\ b-c)$を用いて表せ．
(3) 次の極限を求めよ． \[ \lim_{t \to \infty}8\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{x}\sin tx \,\sin 2tx \,\cos 3tx \,\cos 4tx\,dx \]