2017年入試問題研究に戻る

早稲田理工5番

3次の整式 $ f(x)=x^3+x^2+px+q\ (ただし，p \ne q,\ q\ne 0) $，および $ g(x)=\dfrac{-1}{x+1} $ が次の条件 $ (*) $ をみたすとする． \[ (*)\quad f(x)=0\ の任意の解\ \alpha\ に対してg(\alpha)もf(x)=0\ の解である． \] 次の問に答えよ．

(1)　$ p,\ q $の値を求めよ．

(2)　$ f(x)=0 $ は $ -2< x< 2 $ の範囲に3つの実数解をもつことを示せ．

(3)　$ f(x)=0 $ の任意の解を $ 2\cos\theta $ とするとき， $ 2\cos2\theta,\ 2\cos3\theta $ も解であることを示せ．

(4)　$ 2\cos\theta\ (0<\theta<\pi) $ が $ f(x)=0 $ の解であるとき， $ \theta $ の値を求めよ．

解答