2018年入試問題研究に戻る千葉大12番解答
(1) $z^9=1$ より $\alpha=z+\dfrac{1}{z}$ である．また \[ z^9-1=(z^3-1)(z^6+z^3+1)=0 \] で，$z^3=\cos \dfrac{2\pi}{3}+i\sin \dfrac{2\pi}{3}\ne 1$ なので， \begin{eqnarray*} 0&=&z^6+z^3+1=z^3\left(z^3+1+\dfrac{1}{z^3} \right)\\ &=&z^3\left\{\left(z+\dfrac{1}{z}\right)^3-3\left(z+\dfrac{1}{z}\right)+1\right\}\\ &=&z^3\left(\alpha^3-3\alpha+1 \right) \end{eqnarray*} $z\ne 0$ なので，$\alpha^3-3\alpha+1=0$ ． つまり， \[ f(x)=x^3-3x+1 \] である．
(2) $z$ は $X$ を未知数とする9次方程式 $X^9-1=0$ の解であって， $X^3-1=0$ の解ではない．つまり， $X^6+X^3+1=0$ の解である． \[ z^2,\ z^4,\ z^5,\ z^7 \] も同様の性質を持つ．よってこれらも \[ \left(X+\dfrac{1}{X} \right)^3-3\left(X+\dfrac{1}{X} \right)+1=0 \] を満たす． この結果， \[ \beta=z^2+z^7=z^2+\dfrac{1}{z^2},\ \quad \gamma=z^4+z^5=z^4+\dfrac{1}{z^4} \] も $f(x)=0$ を満たす． \[ \alpha=2\cos \dfrac{2\pi}{9},\ \beta=2\cos \dfrac{4\pi}{9},\ \gamma=2\cos \dfrac{8\pi}{9} \] なので，これらは互いに異なる． よって $\beta$，$\gamma$ が，3次方程式 $f(x)=0$ の $\alpha$ 以外の2つの解である． $\alpha^3=3\alpha-1$ を用いると， \begin{eqnarray*} \beta&=&\left(z+\dfrac{1}{z} \right)^2-2=\alpha^2-2\\ \gamma&=&\left(z^2+\dfrac{1}{z^2} \right)^2-2=\beta^2-2\\ &=&(\alpha^2-2)^2-2=\alpha^4-4\alpha^2+2\\ &=&\alpha(3\alpha-1)-4\alpha^2+2=-\alpha^2-\alpha+2 \end{eqnarray*} となる．