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阪大理系2番

$a,\ b$ を正の実数とし,$f(x)=x^4-ax^3+bx^2-ax+1$ とする.

(1) $c$ を実数とし,$f(x)$ が $x-c$ で割り切れるとする.このとき,$c>0$ であり, $f(x)$ は $(x-c)\left(x-\dfrac{1}{c}\right)$ で割り切れることを示せ.
(2) $f(x)$ がある実数 $s,\ t,\ u,\ v$ を用いて \[ f(x)=(x-s)(x-t)(x-u)(x-v) \] と因数分解できるとき,$a\geqq 4$ が成り立つことを示せ.
(3) $a=5$ とする.$f(x)$ がある実数 $s,\ t,\ u,\ v$ を用いて \[ f(x)=(x-s)(x-t)(x-u)(x-v) \] と因数分解できる自然数 $b$ の値をすべて求めよ.


解答