2018年入試問題研究に戻る京大特色4番
自然数 $ k $ と $ n $ は互いに素で， $ k< n $ を満たすとする。 $ n $ 項からなる数列 $ a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n $ が次の3条件 (イ)，(ロ)，(ハ)を満たすとき，性質 $ \mathrm{P}(k,n) $ を持つということにする．
(イ) $ a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n $ はすべて整数．
(ロ) $ 0\leqq a_1< a_2< \cdots < a_n< 2^n-1 $ ．
(ハ) $ a_{n+1},\ \cdots,\ a_{n+k} $ を $ a_{n+j}=a_j\ (1 \leqq j \leqq k) $ で定めたとき， $ n $ 以下のすべての自然数 $ m $ に対して $ 2a_m-a_{m+k} $ は $ 2^n-1 $ で割り切れる．以下の設問に答えよ．
（1）$ k=2 $ かつ $ n=5 $ の場合を考える． 性質 $ \mathrm{P}(2,5) $ を持つ数列 $ a_l,\ a_2,\ \cdots,\ a_5 $ をすべて求めよ．
（2）数列 $ a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n $ が性質 $ \mathrm{P}(k,n) $ を持つとする． $ a_{k+1}-a_k=1 $ であることを示せ．