2018年入試問題研究に戻るお茶の水大
次の条件によって定まる数列$\{F_n\}$を考える． \[ F_1=F_2=1,\ \quad F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}\quad (n \geqq 2) \] $\dfrac{n}{2}$を越えない最大の整数を$\left[\dfrac{n}{2}\right]$と表すとき， \[ F_{n+1}=\sum_{r=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]}{}_{n-r} \mathrm{C}_r (★) \] が成り立つことを以下の手順により示せ．
(1) $ 1\leqq r \leqq n-1 $ を満たす自然数$r$に対し， \[ {}_n \mathrm{C}_r={}_{n-1} \mathrm{C}_r+{}_{n-1} \mathrm{C}_{r-1} \] が成り立つことを示せ．
(2) $ (★) $ が $ n=1,\ 2 $ に対して成り立つことを示せ．
(3) すべての自然数 $ n $ に対し， $ (★) $ が成り立つことを数学的帰納法により示せ．