2018年入試問題研究に戻る東工大2番解答
(1) \[ 35x+91y+65z=35x+13(7y+5z) \] で，$35\cdot 3+13\cdot(-8)=1$ であるから，$x=3,\ 7y+5z=-8$ にとれば，$35x+13(7y+5z)=1$ となる． $7\cdot (-4)+5\cdot 4=-8$ なので，$35x+91y+65z=1$ を満たす整数の組として，$(3,\ -4,\ 4)$ がとれる．
これより，$35x+91y+65z=3$ を満たす整数の組として，$(9,\ -12,\ 12)$がとれる．(2) \[ 35X+13Y=3 \quad \cdots① \] となるすべての整数解 $(X,\ Y)$ を求める．(1)の解答から \[ 35\cdot 9+13\cdot(-24)=3 \] なので， \[ 35(X-9)+13(Y+24)=0 \] である．35と13は互いに素なので，$(X-9,\ Y+24)=(-13t,\ 35t)$ となる整数が存在する． 逆に整数 $t$ を用いて $(9-13t,\ -24+35t)$ と表される $(X,\ Y)$ は①を満たす．
次に， \[ 7y+5z=-24+35t \] となる $y,\ z$ を求める． \[ 7\cdot(-2)+5\cdot 3=1 \] なので， \[ 7(48-70t)+5(-72+105t)=-24+35t \] である．よって．前半と同様に，整数 $s$ を用いて \[ y=48-70t+5s,\ z=-72+105t-7s \] となる．この結果， $35x+91y+65z=3$ を満たす整数の組は，任意の整数 $t$ と $s$ を用いて， \[ (9-13t,\ 48-70t+5s,\ -72+105t-7s) \quad \cdots② \] と表される．
このとき， \[ x^2+y^2= (9-13t)^2+(48-70t+5s)^2=(9-13t)^2+\{48-5(14t-s)\}^2 \] ここで，$t$ と $14t-s$ はそれぞれ任意の整数値をとることができるので， $x^2+y^2$ が最小になるのは， $(9-13t)^2$ と $\{48-5(14t-s)\}^2$ がそれぞれ最小になるときである．
それは，$|9-13t|$ と $|48-5(14t-s)|$ がそれぞれ最小になるときなので， $t=1,\ 14t-s=10$ である．
これより，$x^2+y^2$ は $t=1,\ s=4$ で最小になり， 最小値は $4^2+(-2)^2=20$ である．このとき，②より \[ (x,\ y,\ z)=(-4,\ -2,\ 5) \] である．