2018年入試問題研究に戻る

東工大2番解答

(1)  \[ 35x+91y+65z=35x+13(7y+5z) \] で,$35\cdot 3+13\cdot(-8)=1$ であるから,$x=3,\ 7y+5z=-8$ にとれば,$35x+13(7y+5z)=1$ となる. $7\cdot (-4)+5\cdot 4=-8$ なので,$35x+91y+65z=1$ を満たす整数の組として,$(3,\ -4,\ 4)$ がとれる.
これより,$35x+91y+65z=3$ を満たす整数の組として,$(9,\ -12,\ 12)$がとれる.

(2)  \[ 35X+13Y=3 \quad \cdots@ \] となるすべての整数解 $(X,\ Y)$ を求める.(1)の解答から \[ 35\cdot 9+13\cdot(-24)=3 \] なので, \[ 35(X-9)+13(Y+24)=0 \] である.35と13は互いに素なので,$(X-9,\ Y+24)=(-13t,\ 35t)$ となる整数が存在する. 逆に整数 $t$ を用いて $(9-13t,\ -24+35t)$ と表される $(X,\ Y)$ は@を満たす.
次に, \[ 7y+5z=-24+35t \] となる $y,\ z$ を求める. \[ 7\cdot(-2)+5\cdot 3=1 \] なので, \[ 7(48-70t)+5(-72+105t)=-24+35t \] である.よって.前半と同様に,整数 $s$ を用いて \[ y=48-70t+5s,\ z=-72+105t-7s \] となる.この結果, $35x+91y+65z=3$ を満たす整数の組は,任意の整数 $t$ と $s$ を用いて, \[ (9-13t,\ 48-70t+5s,\ -72+105t-7s) \quad \cdotsA \] と表される.
このとき, \[ x^2+y^2= (9-13t)^2+(48-70t+5s)^2=(9-13t)^2+\{48-5(14t-s)\}^2 \] ここで,$t$ と $14t-s$ はそれぞれ任意の整数値をとることができるので, $x^2+y^2$ が最小になるのは, $(9-13t)^2$ と $\{48-5(14t-s)\}^2$ がそれぞれ最小になるときである.
それは,$|9-13t|$ と $|48-5(14t-s)|$ がそれぞれ最小になるときなので, $t=1,\ 14t-s=10$ である.
これより,$x^2+y^2$ は $t=1,\ s=4$ で最小になり, 最小値は $4^2+(-2)^2=20$ である.このとき,Aより \[ (x,\ y,\ z)=(-4,\ -2,\ 5) \] である.

問題