2019年入試問題研究に戻る千葉大第13問
$ a $ は実数とする．座標平面上で連立不等式 \[ \left\{ \begin{array}{l} y\geqq x^2\\ y\leqq (2a+3)x-a(a+3) \end{array} \right. \] の表す領域を $ D(a) $ とおく．いま， $ x $ 座標も $ y $ 座標も整数であるような点を格子点と呼ぶことにする．
(1) $ n $ を整数とする．このとき $ D(n) $ に含まれる格子点の個数を求めよ．
(2) 任意の実数 $ a $ について， $ D(a) $ に含まれる格子点の個数と $ D(a+1) $ に含まれる格子点の個数は等しいことを示せ．