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大阪市大後期工学部4番

$ \alpha $ を $ 0< \alpha< 1 $ を満たす実数とする.自然数 $ n $ に対して, $ 3^{n-1}\alpha $ の整数部分を $ a_n $ , 小数部分を $ b_n $ とする. $ b_n $ が条件 \[ \begin{array}{l}     n\ が奇数のとき,\ \dfrac{1}{3}\leqq b_n<\dfrac{2}{3}\\     n\ が偶数のとき,\ 0\leqq b_n<\dfrac{1}{3} \end{array} \] を満たすとき,以下の問いに答えよ.ただし,実数 $ x $ に対して, $ x $ の整数部分が $ a $ ,小数部分か $ b $ であるとは, $ a $ が整数であり, $ 0\leqq b< 1 $ であって $ x=a+b $ と表されることをいう.

(1)  $ k $ を自然数とするとき, $ b_{2k+1} $ を $ b_{2k} $ を用いて表せ.

(2)  $ k $ を自然数とするとき, $ b_{2k} $ を $ b_{2k-1} $ を用いて表せ.

(3)  $ \alpha $ を求めよ. 

解答