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京大特色1番

$ a $ を2以上の整数とし,有理数 $ b $ を $ b=1+\dfrac{1}{a} $ により定める.自然数 $ n $ に対して, \[ S_n=\sum_{k=1}^n k^{\frac{1}{a}} \] とおく.ただし, $ k^{\frac{1}{a}} $ とは $ a $ 乗すると $ k $ になる正の実数のことである. 以下の設問に答えよ.

(1)  $ \displaystyle \lim_{n\to \infty}\dfrac{S_n}{n^b}=\dfrac{1}{b} $ を示せ.

(2)  $ \displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(S_n-\dfrac{n^b}{b}\right)=\infty $ を示せ.

解答