2019年入試問題研究に戻る京大特色4番解答
(1) 条件（D）は \[ k\leqq \dfrac{n}{m}< k+1 \] となる．実数 $ x $ に対して $ x $ を超えない最大の整数を $ [x] $ と表すと，この条件は \[ k=\left[\dfrac{n}{m}\right] \] である．したがって， $ T_n $ ，つまりある $ m $ が存在してこのように表される $ k $ の個数は， 自然数 $ m $ に対して， $ 0\leqq \left[\dfrac{n}{m}\right]< n $ の範囲で $ \left[\dfrac{n}{m}\right] $ がとりうる値の個数である． $ m=1 $ のときは $ \left[\dfrac{n}{m}\right]=n $ で条件を満たさない． $ m>n $ ならすべて0である．したがって $ 2\leqq m \leqq n+1 $ の範囲で調べればよい．
$ n=50 $ のとき，この範囲の $ m $ を順に代入すると，とる値は， \[ 25,\ 16,\ 12,\ 10,\ 8,\ 7,\ 6,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 0 \] の13個である． $ T_{50}=13 $ ．(2) \[ \dfrac{n}{m}-\dfrac{n}{m+1}\leqq 1 \] とする．これより \[ n\leqq m(m+1) \] つまり， $ m $ が \[ \dfrac{-1+\sqrt{1+4n}}{2}\leqq m \] を動くとき， $ \left[\dfrac{n}{m}\right] $ の値は2以上離れることはない． $ \alpha=\dfrac{-1+\sqrt{1+4n}}{2} $ とおく． この範囲から定まる $ \left[\dfrac{n}{m}\right] $ の値は \[ \left[\dfrac{n}{[\alpha]+1}\right],\ \cdots,\ 0 \] なので， $ k $ の個数は \[ \left[\dfrac{n}{[\alpha]+1}\right]+1 \] である． 逆に， $ m $ が \[ \dfrac{n}{m}-\dfrac{n}{m+1}> 1 \] の範囲を動くとき， $ \left[\dfrac{n}{m}\right] $ に同じ値はない． したがって，この範囲から定まる $ k $ の個数は，この範囲の $ m $ の個数だけあり， 2からはじまるので， \[ [\alpha]-1 \] である． よって， $ T_n $ は \[ T_n=[\alpha]+\left[\dfrac{n}{[\alpha]+1}\right] \] と表される．簡単のため， 定数 $ a=\dfrac{1}{4} $ と $ b=-\dfrac{1}{2} $ を用いて $ \alpha=\sqrt{n+a}+b $ と表す． \[ \sqrt{n+a}+b-1< [\alpha]\leqq \sqrt{n+a}+b \] なので， \[ \sqrt{n+a}+b-1+\dfrac{n}{\sqrt{n+a}+b+1}-1< T_n< \sqrt{n+a}+b+\dfrac{n}{\sqrt{n+a}+b} \] つまり \[ \sqrt{n} \left( \sqrt{1+\frac{a}{n}}+\frac{b-1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{n}}+\frac{b+1}{\sqrt{n}}}-\frac{1}{\sqrt{n}} \right) < T_n< \sqrt{n} \left( \sqrt{1+\frac{a}{n}}+\frac{b}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{n}}+\frac{b}{\sqrt{n}}} \right) \] $ n\to \infty $ のとき，かっこ内はいずれも2に収束する． よって， \[ \lim_{n\to \infty}\dfrac{\log T_n}{\log n}=\lim_{n\to \infty}\dfrac{\log \sqrt{n}}{\log n}=\dfrac{1}{2} \]