2019年入試問題研究に戻るお茶大理(1)第2番解答
(1) 相異なる2つの整数 $ \alpha $ と $ \beta $ で $ \alpha\beta=c,\ \quad \alpha+\beta=2b $ となるものがあれば，その $ c $ は条件を満たす． つまり $ \alpha+\beta $ が偶数にとれればよい．
$ c $ が奇数なら $ \alpha=1 $ ， $ \beta=c $ とすればよい．ただし $ \alpha\ne \beta $ なので， $ c\geqq 3 $ である．
$ c $ が偶数で4の倍数なら， $ \alpha=2 $ ， $ \beta=\dfrac{c}{2} $ とすればよい．ただし $ \alpha\ne \beta $ なので， $ c\geqq 8 $ である．
$ c $ が偶数で2の倍数ではあるが4の倍数ではないとき，つまり $ c=2p\ (p:奇数) $ と表されるとき， $ c=\alpha\beta $ となるどのような $ \alpha $ と $ \beta $ も偶奇が異なり，条件を満たさない．
以上から $ c $ が3以上の奇数，または8以上の4の倍数であることが， $ c $ の満たすべき必要十分条件である．
よって， $ 1\not \in A $ ， $ 2\not \in A $ である．(2) 以上の考察から， $ 1\not \in A $ ， $ 2\not \in A $ かつ $ 3 \in A $ ，すなわち $ c_1=3 $ である．
(3) $ c_1=3 $ で， $ (c_2,\ c_3,\ c_4) $ ， $ (c_5,\ c_6,\ c_7) $ ， $ (c_8,\ c_9,\ c_{10}) $ ，…，は $ (奇数,\ 奇数,\ 4の倍数) $ となる． 従って，その $ k $ 番目の組は \[ (c_{3k-1},\ c_{3k},\ c_{3k+1}) =(4k+1,\ 4k+3,\ 4k+4) \] である． $ 100=3\cdot 33+1 $ なので， $ k=33 $ より， \[ c_{100}=4\cdot 33+4=136 \] である．