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お茶大理(2)第2番

数列 $ \{a_n\} $ がすべての自然数 $ n $ について \[ a_n+a_{n+2}\geqq 2a_{n+1} \] を満たしているとする.

(1)  すべての自然数 $ n $ に対して次の不等式が成立することを示せ. \[ \dfrac{a_n+a_{n+2}+a_{n+4}}{3}\geqq \dfrac{a_{n+1}+a_{n+3}}{2} \]

(2)  すべての自然数 $ n $ と $ k $ に対して次の不等式が成立することを示せ. \[ \dfrac{a_n+a_{n+2}+a_{n+4}+\cdots+a_{n+2k}}{k+1}\geqq \dfrac{a_{n+1}+a_{n+3}+a_{n+5}+\cdots+a_{n+2k-1}}{k} \]

解答