2020年入試問題研究に戻る千葉大10番解答
$ (a+bi)^2=a^2-b^2+2ab i $ である．
命題の対偶を示す． すなわち，$ a $ ， $ b $ の少なくとも一方が整数でなければ， $ a^2-b^2 $ ， $ 2ab $ の少なくとも一方は整数でない．を示す．
$ a $ ， $ b $ の一方が整数で他方が整数でないときは， $ a^2-b^2 $ が整数でない．
以下， $ a $ ， $ b $ がともに整数でないとする． \[ a=\dfrac{t}{s}\ (s,\ t\ は互いに素),\ \quad b=\dfrac{v}{u}\ (u,\ v\ は互いに素) \] とおく．
$ s $ と $ t $ の偶奇で場合分けする．
i) $ s $ と $ u $ がともに偶数のとき． $ t $ と $ v $ はともに奇数となるので， $ 2ab=\dfrac{2tv}{su} $ を2で約すると，分子は奇数，分母は偶数となり，整数ではない．
ii) $ s $ が偶数で $ u $ が奇数のとき． $ t $ は奇数である． $ a^2-b^2=\dfrac{t^2u^2-v^2s^2}{s^2u^2} $ において，分子は奇数，分母は偶数となり，整数ではない．
$ s $ が奇数で $ u $ が偶数のときも同様に $ a^2-b^2 $ が整数でない．
iii) $ s $ ， $ u $ が奇数のとき．
$ 2ab=\dfrac{2tv}{su} $ が整数とする． このときは $ t $ が $ u $ の倍数であり， $ v $ が $ s $ の倍数でなければならない． $ t=pu $ ， $ v=qs $ とおく． $ pu $ ， $ qs $ はそれぞれ $ s $ ， $ t $ と互いに素である． このとき， $ a^2-b^2=\dfrac{p^2u^4-q^2s^4}{s^2u^2} $ において，分子は $ s $ の倍数でなく， $ u $ の倍数でもないので， 整数ではない．
以上から，対偶が示された．