2020年入試問題研究に戻る慈恵医大2番
$ p $ を2以上の自然数の定数とする。 $ n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots $ に対して、関数 $ f_n(x)\ (x >0) $ を \[ f_n(x)=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)\left(1+\dfrac{x}{n+1}\right)\cdots \left(1+\dfrac{x}{pn}\right) \] で定める。例えば， $ p=2 $ のとき \[ \begin{array}{l} f_2(x)=\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\left(1+\dfrac{x}{3}\right)\left(1+\dfrac{x}{4}\right)\\ f_3(x)=\left(1+\dfrac{x}{3}\right)\left(1+\dfrac{x}{4}\right)\left(1+\dfrac{x}{5}\right)\left(1+\dfrac{x}{6}\right) \end{array} \] である。 $ \displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty}f_n(x)\ (x >0) $ とおくとき，次の問いに答えよ。
(1) $ t\geqq 0 $ のとき，不等式 $ \dfrac{t}{1+t}\leqq \log(1+t)\leqq t $ が成り立つことを示せ。 ただし，対数は自然対数とする。
(2) $ f(x) $ を求めよ。