2020年入試問題研究に戻る京大理系2番解答
(1) $ a_n=\alpha^n+\beta^n $ と置く． $ a_n $ が偶数の整数であることを $ n $ についての数学的帰納法で示す． 解と係数の関係から \[ a_1=\alpha+\beta=2p,\ \quad \alpha\beta=-1 \] である． \[ a_2=\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=4p^2+2 \] よって $ n=1,\ 2 $ で成立する． \begin{eqnarray*} a_{n+2}&=&\alpha^{n+2}+\beta^{n+2}\\ &=&(\alpha+\beta)(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})-\alpha\beta(\alpha^n+\beta^n)\\ &=&2pa_{n+1}+a_n \end{eqnarray*} であるから， $ a_n $ ， $ a_{n+1} $ が偶数の整数なら， $ a_{n+2} $ も偶数の整数である． よってすべての $ n $ で $ a_n $ は偶数の整数である．
(2) 2次方程式の判別式が $ 4p^2+4>0 $ なので， $ \alpha $ ， $ \beta $ は実数である．
$ |\alpha| >1 $ のとき， $ |\beta|< 1 $ である． $ a_n $ が偶数なので， \[ (-\alpha)^n\sin (\alpha^n \pi)=(-\alpha)^n\sin \{(a_n-\beta^n)\pi\} =-(-\alpha)^n\sin (\beta^n\pi) \] そして， \begin{eqnarray*} -(-\alpha)^n\sin (\beta^n\pi) &=&-(\beta^n\pi)(-\alpha)^n\dfrac{\sin (\beta^n\pi)}{\beta^n\pi}\\ &=&-\pi(-\alpha\beta)^n\dfrac{\sin(\beta^n\pi)}{\beta^n\pi} =-\pi\cdot\dfrac{\sin (\beta^n\pi)}{\beta^n\pi} \end{eqnarray*} $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(\beta^n\pi)=0 $ なので， $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{\sin(\beta^n\pi)}{\beta^n\pi}=1 $ である． よって， \[ \lim_{n \to \infty}(-\alpha)^n\sin (\alpha^n \pi)= \lim_{n \to \infty}-\pi\cdot\dfrac{\sin(\beta^n\pi)}{\beta^n\pi}=-\pi \] である．