2020年入試問題研究に戻る京大特色2番
次の3つのルール(i)，（ii），(iii)にしたがって三角形 $ \mathrm{ABC} $ の頂点上でコマを動かすことを考える．
(i) 時刻0においてコマは頂点Aに位置している．
(ii) 時刻0にサイコロを振り， 出た目が偶数なら時刻1で頂点 $ \mathrm{B} $ に， 出た目が奇数なら時刻1で頂点 $ \mathrm{C} $ にコマを移動させる．
(iii) $ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots $ に対して，時刻 $ n $ にサイコロを振り， 出た目が3の倍数でなければ時刻 $ n+1 $ でコマを時刻 $ n-1 $ に位置していた頂点に移動させ， 出た目が3の倍数であれば時刻 $ n+1 $ でコマを時刻 $ n-1 $ にも時刻 $ n $ にも位置していなかった頂点に移動させる．時刻 $ n $ においてコマが頂点 $ \mathrm{A} $ に位置する確率を $ p_n $ とする．以下の設問に答えよ．
(1) $ p_2,\ p_3 $ を求めよ．
(2) $ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots $ に対して， $ p_{n+1} $ を $ p_{n-1} $ と $ p_n $ を用いて表せ．
(3) 極限値 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n $ を求めよ．