2020年入試問題研究に戻る京大特色3番
整数 $ k $ ， $ n $は $0 \leqq k< n $ を満たすとする． 以下の設問に答えよ．
(1) $ f(x)=x^n $ ， $ g(x)=x^k $ とする． $ 1\leqq x< y $ に対して,次の不等式がなりたつことを示せ． \[ \left|\dfrac{g(x)-g(y)}{f(x)-f(y)} \right|< \dfrac{1}{x} \]
(2) $ f(x) $ ， $ g(x) $ を実数係数の整式で， $ f(x) $ の次数を $ n $ とし， $ g(x) $ の次数を $ k $ 以下とする． $ f(x_0) $ が整数となるすべての実数 $ x_0 $ に対して $ g(x_0) $ も整数となるとき， $ g(x) $ は $ x $ によらず一定の整数値をとることを示せ．